学过量子物理的同学都知道 Dirac $\delta$ 函数, 这是个神奇的函数, 它有着在数学上不可能的性质:

$$\delta(x) = \left\{\begin{matrix} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \neq 0 \end{matrix}\right.$$

且

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\mathrm{d}x = 1$$

这个一个在物理上显然, 但在数学上非常不显然的函数. 物理专业的一开始不习惯, 但在量子力学中用多了也就习惯了. 数学专业的通常没学过量子物理, 只学过实变函数和泛函分析初步, 因此一开始看到这函数会不得不懵一会儿. 这是不奇怪的. $\delta$函数有着显然的物理背景, 同时是数学中的 "病态函数".

数学 vs 物理

想象这一情形: 在无穷长直线上, 只在 $x = 0$ 处有一电荷量为$1$的点电荷, 其余地方的电荷量均为$0$. 那么, 该直线上的电荷密度函数, 用$\delta$函数来描述是最为准确的. 即除$x = 0$这一点外, 其余点的电荷密度均严格为$0$, 而$x = 0$处的电荷密度不可能为有限值. 并且对全空间的积分等于$1$, 只有这样才符合物理的客观现实.

而在数学中, 无论按 Riemann 积分还是按 Lebesgue 积分, 乃至反常积分, $\delta(x)$的积分只能是$0$, 不可能是$1$. 我们可以这样理解: 积分的本质即面积. 从$\delta(x)$的函数图像来看, $x=0$处可看作一条无限长的射线, 线的面积永远是$0$, 因此从数学上来讲, $\delta(x)$的积分似乎只能取$0$.

为了协调数学与物理之间的矛盾, 我们需要对 $\delta(x)$ 函数重新认识, 看看课本是怎么讲的.

重翻物理课本

实践论告诉我们, 当实践与理论发生矛盾, 一定是理论本身错了. 有着鲜明物理背景的 Dirac $\delta$ 函数显然是 "无辜" 的, 需要改动的是数学理论. 比如,曾谨言的《量子力学》, 同样是承认这个函数不太正常, 并给了一种描述性定义:

如果在数学上不过分追求严格, $\delta$ 函数可以看成一个非奇异函数的某种极限情况来处理... 把$\delta$ 函数代之为某种非奇异函数, 直至运算过程的最后, 再取极限.

即$\delta$ 函数的本质是一种极限, 一种非经典的极限. 现在我们可以给它下一个 "相对严谨" 的定义了:

若函数集$\{f_a(x)| a\in I\}$满足以下性质: $$\begin{equation}\label{con1}\int_{-\infty}^{+\infty}f_a(x)\mathrm{d}x = 1, \forall a\end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{con2}\lim_{a\to\omega}f_a(0) = \infty\end{equation}$$ 则 $$\lim_{a\to\omega}f_a(x) = :\delta(x)$$

之所以说这个定义仅仅是 "相对严谨", 是因为最后的极限不是经典的极限, 没有严格的定义, 存在性与唯一性的问题是存疑的, 因此数学上也不会采取这种定义.

而在物理上是不必追求这种严谨的. 比如, $\delta$ 函数可视为正态分布的极限情形:

设分布$$\rho_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp(-x^2/2\sigma)$$
它满足$$\int_{-\infty}^{+\infty}\rho_\sigma(x)\mathrm{d}x = 1$$ $$\lim_{\sigma\to0}\rho_\sigma(0) = \infty $$
它具有$\delta$函数的性质, 即$$\lim_{\sigma\to0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp(-x^2/2\sigma)= \delta(x)$$
¹

从数学上来看, 上式还真的不能说很严谨, 但从物理上来看, 我们能用这种 "不严谨" 推导出诸多有用等式 (显然这些等式也是不符合数学的):

$$\begin{equation}\label{eq1}\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\sin \alpha x}{\pi x} = \delta(x)\end{equation}$$
$$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\sin^2\alpha x}{\pi x^2} = \delta(x)$$
$$\lim_{\varepsilon\to0}\frac{1}{2\varepsilon}e^{-|x|/\varepsilon} = \delta(x) $$
$$\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2} = \pi\delta(x) $$
$$\begin{equation}\label{eq4}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(\mathrm{i}kx)\mathrm{d}k = \delta(x)\end{equation}$$²

我们来试证上面最后一个等式$\eqref{eq4}$.

由正弦函数积分$$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$$可得$$\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin \alpha x}{x}\mathrm{d}x = 1$$
满足条件$\eqref{con1}$. 又因为$$\lim_{\alpha\to\infty}\left.\frac{\sin \alpha x}{\pi x}\right|_{x\to 0} = \infty $$
满足条件$\eqref{con2}$. 故$\frac{\sin \alpha x}{\pi x} = \delta(x)$, 也是$\eqref{eq1}$式. 再欧拉公式可得
$$\begin{split}&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(\mathrm{i}kx)\mathrm{d}k \\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\cos(kx)+\mathrm{i}\sin(kx)\right)\mathrm{d}k \\ =& \frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty} \cos(kx) \mathrm{d}k \\ =& \frac{1}{\pi}\lim_{k\to\infty}\frac{\sin(kx)}{x} = \delta(x) \end{split}$$

再翻数学课本

究竟是物理领跑数学, 还是数学领跑物理, 这是个说不清的问题. 但就 $\delta$ 函数而言, 显然是先有 $\delta$ 函数, 再有将$\delta$ 函数严格化的理论.

数学课本中上提到 $\delta$ 函数, 并将其严格化是在泛函分析的广义函数章节, 在泛函分析课程靠后的部分. 我早已忘记老师有没有在课堂上讲过了.

以下参考我当年的泛函分析课本³, 只涉及 $\delta$ 函数严格化大体过程. 严谨推导见任何一本泛函分析教材.

我们都知道, 映射是两个集合间的对应法则, 函数是数与数间的映射, 即输入和输出都是数字. 而泛函, 则是函数与数间的映射(不是复合函数), 输入是一个函数, 输出是一个数字. 泛函的一个例子是定积分.

例1 函数集 $C[a,b]=\{\text{定义在}[a,b]\text{区间上的全体连续函数}\}$, 对于任意的 $f\in C[a,b]$, 映射 $T$ 按如下法则定义:

$$T(f) := \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\in\mathbb{R}.$$

因此我们说映射 $T$ 是一个泛函, 即定积分运算可看作一种泛函. 此时我们可以给广义函数一个严格定义了.

定义 广义函数 $T$ 是定义在函数集$\{\varphi|\varphi\text{是一类性质很好的函数}\}$ 上的连续线性泛函, 记作 $T(\varphi)$或$(T,\varphi)$.

例2 普通函数 $f$ 可“嵌入”广义函数中.

可按如下方法利用 $f$ 来构建相应的广义函数$F$:

$$F(\varphi):=\int f(x)\varphi(x)\mathrm{d}x, \forall\varphi.$$

可以证明, 若普通函数 $f$ 和 $g$ 所对应的广义函数相等, 则 $f = g$ a.e., 即函数 $f$ 和 $g$ “几乎处处(almost everywhere)”相等. 因此, 普通函数可以当作广义函数的一个“子集”. 在不引起歧义时, 普通函数与广义函数不必区分, 二者可用相同的符号表示.

例3 $\delta$ 函数可严格化为广义函数.

在物理中, $\delta$ 函数的一个重要性质是

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)\mathrm{d}x=\varphi(0), \forall \varphi.$$

显然, 上式左边的数学意义是不明确的, 只有“物理意义”. 但我们可以借此性质, 把 $\delta$ 推广为广义函数:

$$\delta(\varphi) := \varphi(0).$$

可验以上重新定义的 $\delta$ 是广义函数.

要注意的是, 此时我们不能断言 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\mathrm{d}x=1$, 因为此时的 $\delta$ 是广义函数, 不是普通的函数.

要证明 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\mathrm{d}x=1$, 相当于证明$\theta'=\delta$, 其中$\theta(x) = \left\{\begin{matrix} 1, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix}\right.$. 此时需要引入广义函数的求导运算.

设 $T$ 为广义函数, $\varphi(\pm\infty)=0$, 则在“形式上”, 我们有

$$T'(\varphi)=\int_{-\infty}^{+\infty} T'(x)\varphi(x)\mathrm{d}x=T(x)\varphi(x)|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty} T(x)\varphi'(x)\mathrm{d}x$$

$$=-\int_{-\infty}^{+\infty} T(x)\varphi'(x)\mathrm{d}x=-T(\varphi').$$

现在我们可以给广义函数的导数一个定义了:

定义 广义函数 $T$ 的导数 $T'$ 按如下方式定义:

$$T'(\varphi):=-T(\varphi'), \forall \varphi.$$

例4 设 $\theta(x) = \left\{\begin{matrix} 1, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix}\right.$, 则作为广义函数, 成立 $\theta'=\delta.$

不妨设 $\varphi(\pm\infty)=0$, 则

$$\theta'(\varphi)=-\theta(\varphi')=\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(x)\varphi'(x)\mathrm{d}x=-\int_{0}^{+\infty}\varphi'(x)\mathrm{d}x$$

$$=-\varphi(x)|_0^{+\infty}=\varphi(0).$$

联系 $\delta(\varphi) := \varphi(0)$, 故 $\theta'=\delta$ 成立.

此外, 可进一步证明 $\delta'(\varphi)=-\varphi'(0)$.