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前几天笔者分享了一个不等式:

a21+b21a1+b1+a22+b22a2+b2(a1+a2)2+(b1+b2)2(a1+a2)+(b1+b2).

这个不等式是在计算 "gini 不纯度" 时遇到的. 笔者第一次证明时是直接暴力去分母, 计算量稍大. 但总觉得这方法不对. 因为这种 "暴力" 去分母无法推广到多项的情形. 事实上, 该不等式是可以推广到多项的情形的, 即

Mm=1Nn=1a2mnNn=1amnNn=1(Mm=1amn)2Nn=1Mm=1amn,(amn>0).

为了行文方便, 这里只证明上述不等式的一个特例. 原不等式的证明方法和该特例完全相同.

Q:a1,a2,a3,b1,b2,b3>0, 证明

a21+b21a1+b1+a22+b22a2+b2+a23+b23a3+b3(a1+a2+a3)2+(b1+b2+b3)2(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)

并给出等号成立的条件.

证明: 设向量 v1=(a1,b1), v2=(a2,b2), v3=(a3,b3). 则有

(a21+b21a1+b1+a22+b22a2+b2+a23+b23a3+b3)[(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)](a21+b21+a22+b22+a23+b23)2(Cauchy–Schwarz 不等式)=(

可见问题中的不等式成立.

由以上过程可知, 不等式成立的条件是 \mathbf{v} _1\parallel\mathbf{v}_2\parallel\mathbf{v}_3, 即

\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}.

\square

PS

a_k\in\mathbb{R}, b_k>0, 由 Cauchy–Schwarz 不等式可证明不等式

\frac{a_1^2}{b_1}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{\left({a_1}+\cdots+{a_n}\right)^2}{b_1+\cdots+b_n},

等号成立当且仅当

\frac{{a_1}}{b_1}=\cdots=\frac{{a_n}}{b_n}.

该不等式能用在一些有理不等式的缩放上, 可能会给运算带来一定便利. 当然, 该不等式并非笔者首先想到的, 它最晚出现在 90 年代的一些初等数学习题集上, 有时候被称为 Titu 引理, 可能是因为它出现在 Titu 写的一数学奥林匹克上(当然, Titu 也不是第一个提出者)1.

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