前几天笔者分享了一个不等式:

$$ \frac{a_1^2+b_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2+b_2^2}{a_2+b_2}\geq\frac{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}. $$

这个不等式是在计算 "gini 不纯度" 时遇到的. 笔者第一次证明时是直接暴力去分母, 计算量稍大. 但总觉得这方法不对. 因为这种 "暴力" 去分母无法推广到多项的情形. 事实上, 该不等式是可以推广到多项的情形的, 即

$$ \sum_{m=1}^{M}\frac{\sum_{n=1}^{N}a_{mn}^2}{\sum_{n=1}^{N}a_{mn}} \geq \frac{\sum_{n=1}^{N}\left(\sum_{m=1}^{M}a_{mn}\right)^2}{\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M}a_{mn}}, \quad (a_{mn}>0). $$

为了行文方便, 这里只证明上述不等式的一个特例. 原不等式的证明方法和该特例完全相同.

Q: 设 $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 >0$, 证明

$$ \frac{a_1^2+b_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2+b_2^2}{a_2+b_2}+\frac{a_3^2+b_3^2}{a_3+b_3}\geq\frac{(a_1+a_2+a_3)^2+(b_1+b_2+b_3)^2}{(a_1+a_2+a_3)+(b_1+b_2+b_3)} $$

并给出等号成立的条件.

证明: 设向量 $\mathbf{v}_1=(a_1, b_1)$, $\mathbf{v}_2=(a_2, b_2)$, $\mathbf{v}_3=(a_3, b_3)$. 则有

$$ \begin{equation*} \begin{split} & \left(\frac{a_1^2+b_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2+b_2^2}{a_2+b_2}+\frac{a_3^2+b_3^2}{a_3+b_3}\right)\left[(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+(a_3+b_3)\right] \\ \geq & \left(\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+\sqrt{a_3^2+b_3^2}\right)^2\quad\text{(Cauchy–Schwarz 不等式)} \\ = & \left(\|\mathbf{v}_1\|+\|\mathbf{v}_2\|+\|\mathbf{v}_3\|\right)^2 \\ \geq & \|\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3\|^2\quad\text{(三角不等式)} \\ = & (a_1+a_2+a_3)^2 + (b_1+b_2+b_3)^2. \\ \end{split} \end{equation*} $$

可见问题中的不等式成立.

由以上过程可知, 不等式成立的条件是 $\mathbf{v} _1\parallel\mathbf{v}_2\parallel\mathbf{v}_3$, 即

$$ \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}. $$

$\square$

PS

设 $a_k\in\mathbb{R}$, $b_k>0$, 由 Cauchy–Schwarz 不等式可证明不等式

$$ \frac{a_1^2}{b_1}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{\left({a_1}+\cdots+{a_n}\right)^2}{b_1+\cdots+b_n}, $$

等号成立当且仅当

$$ \frac{{a_1}}{b_1}=\cdots=\frac{{a_n}}{b_n}. $$

该不等式能用在一些有理不等式的缩放上, 可能会给运算带来一定便利. 当然, 该不等式并非笔者首先想到的, 它最晚出现在 90 年代的一些初等数学习题集上, 有时候被称为 Titu 引理, 可能是因为它出现在 Titu 写的一数学奥林匹克上(当然, Titu 也不是第一个提出者)¹.