上次和师妹去澳门赌场玩的时候, 曾玩过一种叫 "骰宝" 的游戏. 我们试玩了一局, 输了30, 便没勇气继续. 而其中的原理, 特别是有没必胜策略, 倒是让我们讨论了很长一段时间.

一个简单的概率问题

在澳门我们遇到的问题是这样的.

同时抛三个骰子, 以三个骰子的点数分输赢. 最简单的一种形式是押大小: 三个点数和是 4-10 为小, 三个点数和是 11-17 为大. 另外, 若三个骰子的点数相同, 则既不算大也不算小(规则如此). 押一赔一. 这样一来, 我们能算出押大或押小的概率:

$$p = \frac{1}{2} - \frac{3}{6^3} = \frac{35}{72} = 48.61\%$$

平均每局的收益率为 $p-(1-p)=-2.78\%$, 这意味着每次只押100元, 平均每玩一局就损失了2.78元. 这也是赌场的优势.

因此, 在这个意义上, 必胜策略是不存在的...

那加倍下注呢?

之前我都已经说明了每局的期望为负, 因此澳门赌场是不存在必胜策略的. 传说中的加倍下注也一样.

(不妨想想, 要是每个人都赢了钱, 澳门那些豪华建筑是谁出钱建的.)

这里我们把问题尽量简化.

假设某游戏单次赢的概率为$p=\frac{1}{2}$, 押一赔一, 采用加倍下策略:

• 第1轮押$a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$a$元, 接着玩下一轮.
• 第2轮押$2a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$3a$元, 接着玩下一轮.
• 第3轮押$4a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$7a$元, 接着玩下一轮.
• 第4轮押$8a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$15a$元, 接着玩下一轮.
• 第5轮押$16a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$31a$元, 接着玩下一轮.
• 第6轮押$32a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$63a$元, 接着玩下一轮.
• 第7轮押$64a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$127a$元, 接着玩下一轮.
• 第8轮押$128a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$255a$元, 接着玩下一轮.
• 第9轮押$256a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$511a$元, 接着玩下一轮.
• 第10轮押$512a$元, 若赢则净赚$a$元, 停止游戏; 若输则净损失$1023a$元, 接着玩下一轮.
• ...

计算表明, 用这种策略, 游戏在5轮内结束的概率为$96.875\%$, 若不结束则损失$31a$元. 10轮内结束的概率超过$99.9\%$, 输的概率可忽略不计. 这意味着, 只要带着$1023a$元去澳门, 赢钱是大概率事件.

是的, 你没听错, 赢钱是大概率事件. 为什么说赢钱是大概率事件? 因为只要下注次数足够多, 总有一次是中的, 中了就能把之前所损失的钱都赢回来了. 或者说, 准备一笔大钱, 分多次下注, 全部输光是小概率事件, 而赢一笔小钱则是大概率事件. 收益期望没有变化.

以上只是理论推导, 跟澳门实际存在差距. 赌场的实际情况可归纳为以下几点(在澳门, 单次下注在得在30以上.):

• 上文的期望为0, 而澳门期望为负(在澳门赢的概率$p$通常小于$50\%$). 这意味只要去玩的人足够多, 时间足够长, 越来越多的资金会留在澳门. 这些留在澳门的资金很可能来自你的钱包.
• 按双倍下注的策略, 准备一笔巨款的确可以在澳门赢些小钱. 比如准备个几万可以很轻易地赢几十几百. 然而, 赌的本质即以小博大, 这也是它让人着魔的地方. 没有人会严格遵循策略, 他们不甘心带几万来最后只赚几百块. 甚至有些人觉得亏个一两千不是事. 因此大部分人哪怕赢了钱都会继续, 直到最终亏了一大笔.
• 调查表明, 去澳门玩的, 75%左右是亏钱的. 这意味着你啥也不做已经领先75%的玩家了... (我自己编的)
• 小概率事件并不意味着不可能发生. $1\%$的概率也是有可能发生的. 我在澳门时, 某桌子一连开了五六个 "大". 我兴致勃勃地让师妹也押了大... 30元没了. 我这个数学专业的, 在现场也很难避免这种思维误区: 现在已经一连开了九个 "大" 了, 接下来一定是 "大/小".

不过, 话又说回来, 澳门的娱乐城真的是金碧辉煌. 就算不玩也值得进去开开眼界.