什么是卷积?

事先澄清一下, 并没有任何师妹问过我什么是卷积. (倒是的确和一个师妹讨论过一个稍稍涉及到卷积的问题.)

网上关于卷积的讨论材料, 甚繁, 前人之述备矣. 我在第一次学习卷积的时候, 遇到了一些困难. 之所以觉得难, 是因为它数学定义好懂, 而现实(物理)意义颇为费解. 最让我费用的点在于, 卷积为什么定义成

$$(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\text{d}\tau$$

而非

$$(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(\tau-t)\text{d}\tau.$$

为什么其中一个因子要进行翻转, 不翻转不行吗?

这不是一个简单的是或者否的问题. 要是不翻转, 它叫互相关, 也是两个因子间的一种运算. 而卷积的卷, 恰恰是体现在翻转.

接下来是我对卷积的理解, 不追求严谨性.

设想有一个依赖于时刻的待研究的对象(信号) $f(t)$, 该对象的作用时间是从$-\infty$到$+\infty$ (这里不必把 $\infty$ 理解成无穷), 则该对象在全过程所产生的作用量 (名词借用) 是

$$I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\text{d}\tau.$$

若考虑依赖于时刻的权重函数$g(t)$, 则该对象的作用量变成了

$$I'=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(\tau)\text{d}\tau.$$

这恰好就是内积. 显然, 上述的作用量未免有些单调, 仅用一个数字来描述全过程多少有些失真. 我们希望通过对权重函数$g(t)$进行改造, 得到一个能分布上全过程上的作用量 $I(t)$, 即

$$I(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(\tau, t)\text{d}\tau.$$

其中的一种改造方式是, 令权重函数$g(t)$在$t=\tau$这一时刻, 仅依赖于时间间隔$t-\tau$, 这意味着作用量

$$I(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\text{d}\tau.$$

这便是卷积.

完了? 完了. 我觉得我讲清楚了. (其实并没有...)