跟师妹瞎聊火箭发射

学长: 师妹, 你应该关注天问一号上天的新闻吧?

师妹: 当然关注啦, 明年过年前后将飞到火星, 想想都觉得兴奋呢.

学长: 那你知道火箭为什么能上天吗?

师妹: 这不是小学一年级所学的第一宇宙速度吗? 也就环绕速度, 约 $7.9\mathrm{km}/\mathrm{s}$. 超过环绕速度火箭就能升天了.

学长: 对, 但其实这个问题只对了一半. 你想想, 不考虑地球自转空气阻力这些因素, 火箭以 $1\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 的速度匀速上升, 这样火箭能否飞出地球, 飞离太阳系呢?

师妹: 这... 可以吧...

学长: 怎么会有个 "吧"? 都说了以 $1\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 的速率匀速上升, 只要时间足够长, 燃料足够多, 火箭当然能飞到无穷远去. 只要升力能和重力抵消, 火箭就能飞出地球, 对上升速度没有要求. 当然火箭也不能上升得太慢, 不然要是在大气中逗留时间太长, 空气阻力的损耗也是很大的. 现在火箭是怎么发射升空的呢? 还记得中学课本上的 "牛顿大炮" 吗? 这是牛顿做的思想实验. 理想条件下, 在一座足够高的山上, 以环绕速度向水平方向打一炮, 这颗炮弹即可绕地球做圆周运动. 你知道这说明了啥吧?

师妹: 说明了啥? ...

学长: 这说明了, 只要速度超过环绕速度, 不需要竖起向上飞, 哪怕水平地飞, 火箭也能飞离地面, 进而成为环绕地球的一颗卫星, 不再需要额外提供动力. 反过来, 要是速度达不到环绕速度, 升力又不足以抵消引力的话, 那火箭始终会掉下来.

师妹: 哇哈哈... 这不是显然吗?

学长: 我觉得你肯定没想到这一点. 现在的火箭虽然都是竖直发射, 但上天后的轨迹不再是直线, 而是斜斜地进入太空, 以实现环绕地球. 竖直方向上的速度可能比你想象的还要慢些. 你要是看直播, 你会发现运载天问一号的长征五号运载火箭 "胖五" , 其竖直方向速度约 $1\mathrm{km}/\mathrm{s}$, 而飞行速度约 $10.9\mathrm{km}/\mathrm{s}$.¹ 好了我又要抛出问题了. 你发现有啥问题吗? 提醒一下关键词, 第二宇宙速度.

师妹: 马上百度一下... 第二宇宙速度是 $11.2\mathrm{km}/\mathrm{s}$, 又叫逃逸速度. 咦? 火箭的速度怎么低于逃逸速度? 这好像有点奇怪... 难道后面又加速了?

学长: 其实道理很简单. 我们熟知的逃逸速度是在地面上计算的. 当飞船升天后, 太空中的逃逸速度就没有在地面上那么高了, 比地面上略小. 在地面上需要 $11.2\mathrm{km}/\mathrm{s}$ 才能飞离地球, 而在近地轨道上, 逃逸速度约为 $10.9\mathrm{km}/\mathrm{s}$.² 而天问一号的速度也恰好约是 $10.9\mathrm{km}/\mathrm{s}$, 要是稍稍飞慢一点, 天问一号就无法飞出地球, 而稍稍飞快一点, 虽然能早一点到火星, 但是到了火星后还要消耗更多的燃料来减速, 不划算. 另外, 我们用小学一年级所学的万有引力定律, 就能计算出飞船在近地轨道的逃逸速度.

师妹: 咦?! 这个计算我也会!

学长: 那就跳过这个计算吧. 其实这里还有个坑需要填的, 那就是 (1) 如何定量计算火箭的速度, 以及 (2) 随心所欲地漫游宇宙是否真的可行. 先看第一个问题.

不考虑引力作用及其他外力的作用. 初始质量为 $m_0$ 的飞船能在真空中静止的飞船, 火箭向后的喷气速度恒定在 $v_e$. 运行一段时间后, 火箭变得多快.

师妹: 条件那么少, 应该怎么计算?

学长: 这里的计算至多是小学二年级的水平.

因为火箭为了速度需要排出气体做反冲运动, 因此火箭的质量会随着时间而降低. 设 $t$ 时刻火箭的速度为 $v_t$, 质量为 $m_t$. 则 $t = 0$ 时, $v_t|_{t=0} = 0$, $m_t|_{t=0} = m_0$. 这是火箭的初始状态.

在运行 $\Delta t$ 后, 火箭速度增加 $\Delta v = v_{t+\Delta t} - v_{t}$, 质量减少 $\Delta m = m_{t} - m_{t+\Delta t}$, 由动量守恒可得方程

$$(m_t-\Delta m)\Delta v - v_e\Delta m = 0.$$

略去高阶无穷小量, 方程可变形成

$$\frac{\Delta v}{\Delta m} = \frac{v_e}{m_t}$$

亦或

$$\frac{v_{t+\Delta t} - v_{t}}{m_{t} - m_{t+\Delta t}} = \frac{v_e}{m_t}.$$

令 $\Delta t\to 0$, 则

$$-\frac{\mathrm{d}v_t}{\mathrm{d}m_t} = \frac{v_e}{m_t}.\tag{*}\label{*}$$

(想想为什么要加个负号.)解方程$\eqref{*}$可得 $v_t = v_e\ln\frac{m_0}{m_t} + C$. 不要忘了还有初值条件 $v_0 = 0$, 因此

$$v_t = v_e\ln\frac{m_0}{m_t}.$$

或者说, 火箭从 $t=0$ 从静止开始加速运行, 加速到 $t=1$ 时, 速度

$$v_1 = v_e\ln\frac{m_0}{m_1}.$$

这个就是大名鼎鼎的火箭方程, 又名齐奥尔科夫斯基火箭方程(Tsiolkovsky rocket equation), 是俄罗斯学者齐奥尔科夫斯基独立推导出来的. 他推导出火箭方程是在1903年, 那时苏联还没有成立, 人类第一颗人造卫星是在1957年才发射. 而二战期间用作武器的V2火箭, 也是第一个能飞到外太空的人造物³, 则是在1944年才开始服役. 可惜, 齐奥尔科夫斯基在1935年辞世, 享年78岁, 他是一名没见过火箭升空的火箭专家.⁴

值得一题的是, 齐奥尔科夫斯基并不是第一个独立推导出这个火箭方程的学者. 第一个推导出该方程的是英国数学家William Moore, 他比齐奥尔科夫斯基早了整整一个世纪. 他在1810年就推导出了该方程了. 在随后的100年里, 陆续有别的学者独立推算出了这个方程.⁵

因此, 我们要记住有一群没见过火箭的火箭专家, 他们生活在火箭发明以前的时代. 正是他们的默默付出, 才有近70年来火箭卫星导弹的井喷式发展.

记得教我常微分方程的老师讲过, 他当年学相关的微分方程, 不像今天我们对火箭那么习以为常, 他们当年基本没在新闻上见过火箭发射, 因此单靠脑力想象一个物体从地球飞向太空, 并且还要计算出来, 首先就觉得不可思议.

师妹: 他们可真利害...

学长: 回到方程吧. 从方程 $v_1 = v_e\ln\frac{m_0}{m_1}$ 我们得到哪些信息? 首先, 末速度与运行时间无关, 因此不能简单通过延长飞行时间的方法来提升速度. 其次, 在 $v_e$ 不变的情况下, 可以通过提高 $m_0/m_1$ 的比值, 即初质量与末质量的比值, 来提高火箭的末速度.

• 若 $m_0/m_1 = 1$, 说明没有用到燃料, 末速度 $v_1 = 0$;
• 若 $m_0/m_1 = e = 2.7$, 末速度 $v_1 = v_e$;
• 若 $m_0/m_1 = e^2 = 7.4$, 末速度 $v_1 = 2v_e$;
• 若 $m_0/m_1 = e^3 = 20.1$, 末速度 $v_1 = 3v_e$;
• 若 $m_0/m_1 = e^4 = 54.6$, 末速度 $v_1 = 4v_e$;

很显然, 即便在无引力的情况下, 想从 $0$ 开始加到一个比较大的速度, 也是非常不容易的. 消耗掉燃料将呈指数增长. 这样一来, 速度-燃料比将会变得很低, 经济上不划算.

另外, 火箭方程可以改写作

$$v_0 + \Delta v =v_0 + v_e\ln\frac{m_0}{m_0 - \Delta m}.$$

$\Delta m$ 是燃料的消耗质量, $\Delta v$是速度的增加值, 及时抛弃掉没有用的部件, 相当于提高了 $m_0/m_1$, 这在很大程度上节约了资源. 这也是为什么火箭需要分级.

师妹: 这样看来, 火箭再复杂, 也是做反冲运动. 把一部分自身的质量往后抛, 以获取前进的动力. 这些都是工质型的化学发动机. 有一天能开发出无工质聚变发动机吗?

学长: 哈哈哈! 无工质聚变发动机?! 你果然是《三体》的粉丝. 的确, 现在无论航空还是航天, 都是需要工作介质的. 比如, 飞机只有对空气做功, 相当于把空气往下压, 飞机才能飞起来. 因此普通的飞机是无法在真空中飞行的. 真空环境没有空气, 通常宇宙飞船只有做反冲运动, 才能改变运动状态.

那么问题就来了, 随心所欲地漫游宇宙是否真的可行? 难道将来要是没有燃料, 单纯靠太阳能就没法翱翔宇宙?

这个问题当前的答案还是不知道. 无工质发动机并不违背能量守恒, 无工质飞行相当于把飞船内的能量转换成动能. 这方面的详细探讨见知乎相关问答. 我个人感觉前途很光明, 道路很曲折.

其实, 今天利用化学火箭, 外加太阳能和 "引力弹弓", 人类本应该走得更远. 可事实上, 人类在1972年最后一次登月后, 到今天已经48年了, 再也没有人登月或去更遥远的地方. 而当年的美苏太空竞赛走向低潮后, 有些大国的航天技术甚至还走向衰落. 当年成功登月的美国, 有段时间还要借助俄罗斯的火箭才能前往国际空间站⁶. 比起直接探索这个无限的宇宙, 普通人更乐意在电影游戏小说里消费唾手可得的航天快感. 这也算是航天事业的某种无奈吧.

师妹: 哈哈, 很可能我就是这种普通人.

学长: 今天就聊到这里吧.

师妹: 嗯嗯.