大家都说傅里叶全家桶很有用, 那么傅里叶全家桶究竟是什么东西呢? 它是来自于哪里, 又有怎样的应用呢? 今天, 小编就带领大家, 告诉大家什么是傅里叶全家桶. 以上就是本文要聊的内容, 希望这些由小编精心整理的内容能解决您的困惑. 欢迎大家留言和小编讨论交流.

好吧. 这其实是篇拖了大约两年的稿子. 两年前有个师妹问我 "频域" "傅里叶变换" 等相关的问题. 我数学没学好, 对相关理论不甚了解. 于是随手在网上找了段代码扔给她改.

半年前同样的师妹又问了我同样的问题, 我依然答不上来, 这让我一时尴尬. 于是(半年后), 我重新翻起课本, 发现原来傅里叶相关的内容比想象中要庞杂, 相关概念非常多, 如傅里叶级数, 傅里叶积分, 傅里叶变换, 离散傅里叶变换等等, 这也是为什么我称这些为傅里叶全家桶, 想一口气吃掉这个全家桶可不容易. 不过别担心. 只要你搞清楚每个概念的来龙去脉, 你会发现这一大堆 "傅里叶" 也不过如此.

咱们从 "高数" 的傅里叶级数讲起. 我尽量做到深入浅出.

傅里叶级数

周期 $ = 2\pi$

设函数 $f(t)$ 的周期为 $2\pi$ 的可积函数, 则存在与该函数 $f(t)$ 相对应的傅里叶级数, 记作

$$ \begin{equation}\label{ss} f(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^\infty(a_n\cos nt + b_n\sin nt). \end{equation} $$

利用 $\{1, \cos kt, \sin kt\}_{k = 1}^\infty $ 的正交性, 可得系数

$$ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos nt \mathrm{d}t,\quad n = 0, 1, 2,\cdots, $$

$$ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin nt \mathrm{d}t,\quad n = 1, 2,\cdots. $$

值得注意的是, $\eqref{ss}$的级数仅仅个形式, 不能用等号连接(事实上也不一定相等). $\eqref{ss}$式的右边级数是否收敛, 若收敛是否等于左边的函数, 这些都是待明确的. 而傅里叶收敛定理则明确回答了这些疑问.

定理若函数 $f(t)$ 周期为 $2\pi$ 且分段光滑, 则存在等式

$$ \frac{f(t+0)+f(t-0)}{2} = \frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^\infty(a_n\cos nt + b_n\sin nt). $$

这个定理保证了, 只要周期函数满足一些很弱的条件, 该函数与相应的傅里叶级数几乎处处相等(至多只有几个点不相等). 这也表明了傅里叶级数适用于一般的周期性函数.

周期 $ = 2L$

设函数 $f(t)$ 的周期为 $2L$, ~~条件略,~~ 则傅里叶级数的表达式如下:

$$ \begin{equation}\label{ssl} f(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^\infty\left(a_n\cos \frac{n\pi t}{L} + b_n\sin \frac{n\pi t}{L}\right). \end{equation} $$

其中

$$ a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\mathrm{d}t,\quad n = 0, 1, 2,\cdots, $$

$$ b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}\mathrm{d}t,\quad n = 1, 2,\cdots. $$

为了运算便利, 补充 $b_0 = 0$, 记 $\omega_n = n\pi/L$, 这也是傅里叶级数每一项的角频率. 则原级数 $\eqref{ssl}$ 变成

$$ \begin{equation}\label{sslw} f(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^\infty(a_n\cos \omega_n t + b_n\sin \omega_n t). \end{equation} $$

其中

$$ a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\cos\omega_n t\mathrm{d}t,\quad n = 0, 1, 2,\cdots, $$

$$ b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\omega_n t\mathrm{d}t,\quad n = 1, 2,\cdots. $$

复数形式

承上所设. 由欧拉公式 $e^{\mathrm{i}t}=\cos t + \mathrm{i}\sin t$ 可知

$$ \left\{ \begin{matrix} \cos t = (e^{\mathrm{i}t} + e^{-\mathrm{i}t})/2~ \\ \sin t = (e^{\mathrm{i}t} - e^{-\mathrm{i}t})/2\mathrm{i} \\ \end{matrix}, \right. $$

代入$\eqref{sslw}$式,

$$ \begin{split} & \frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^\infty(a_n\cos \omega_n t + b_n\sin \omega_n t) \\ =& \frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^\infty\left(a_n\frac{e^{\mathrm{i}\omega_n t} + e^{-\mathrm{i}\omega_n t}}{2} + b_n\frac{e^{\mathrm{i}\omega_n t} - e^{-\mathrm{i}\omega_n t}}{2\mathrm{i}}\right)\\ =& \frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^\infty\frac{a_n - b_n\mathrm{i}}{2}e^{\mathrm{i}\omega_n t} + \sum_{n = 1}^\infty\frac{a_n + b_n\mathrm{i}}{2}e^{-\mathrm{i}\omega_n t} \\ =&\sum_{n = -\infty}^{-1}\frac{a_{-n} + b_{-n}\mathrm{i}}{2}e^{\mathrm{i}\omega_n t} + \frac{a_0-b_0\mathrm{i}}{2}e^{\mathrm{i}\omega_0 t}+\sum_{n = 1}^\infty\frac{a_n - b_n\mathrm{i}}{2}e^{\mathrm{i}\omega_n t} \\ =& \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{\mathrm{i}\omega_n t}. \end{split} $$

其中

$$ c_n = \left\{ \begin{matrix} (a_{n} - b_{n}\mathrm{i})/2, & n \geq 0 \\ (a_{-n} + b_{-n}\mathrm{i})/2, & n < 0 \\ \end{matrix}. \right. $$

可见, 利用复指数, 周期函数的傅里叶级数有个简洁的表达形式:

$$ \begin{equation}\label{stdd} f(t)\sim\sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{\mathrm{i}\omega_n t}. \end{equation} $$

利用 $\{e^{\mathrm{i}\omega_n t}\}_{n = -\infty}^{+\infty}$ 的正交性, 可换种方式得到系数

$$c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t) e^{-\mathrm{i}\omega_n t}\mathrm{d}t,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots.$$

由上式 $\eqref{stdd}$ 可见, 周期函数可表示成(复数)简谐波 $\{e^{\mathrm{i}\omega_n t}\}_{n = -\infty}^{+\infty}$ 的叠加形式, 相应的振幅为 $|c_n|$.

另外, 由于

$$ \begin{split} &a_n\cos \omega_n t + b_n\sin \omega_n t \\=& \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \sin(\omega_n t + \varphi_n) \\=& |2c_n| \sin(\omega_n t + \varphi_n) \\=& |2c_{-n}|\sin(\omega_n t + \varphi_n) , \end{split} $$

可见 $c_{\pm n}$ 也反映了原傅里叶级数 $\eqref{sslw}$ 角频率为 $\omega_{n}$ 的简谐波振幅. $|c_{\pm n}|$ 越大, 则相应的简谐波则越强.

傅里叶积分

非周期函数是否也能进行傅里叶展开?

上文提到, 周期函数可以进行傅里叶展开. 即定义在区间 $[-L, L]$ 的函数经过周期延拓, 即可展开成傅里叶级数. 若令 $L\to+\infty$, 可以得到区间 $(-\infty, +\infty)$ 上非周期函数的傅里叶展开式.

设 $f(t)$ 是定义在 $(-\infty, +\infty)$ 上的函数, 记 $\Delta\omega_n = \omega_n - \omega_{n-1} = \pi/L$, 假设函数 $f(t)$ 在区间 $[-L, L]$ 上成立

$$ \begin{split} f(t) =& \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{\mathrm{i}\omega_n t} \\=& \sum_{n = -\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t) e^{-\mathrm{i}\omega_n t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega_n t}. \end{split} $$

令 $L\to+\infty$, 则

$$ \begin{split} f(t)\sim&\lim_{L\to+\infty}\sum_{n = -\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t) e^{-\mathrm{i}\omega_n t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega_n t} \\=&\lim_{L\to+\infty}\sum_{n = -\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-L}^L f(t) e^{-\mathrm{i}\omega_n t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega_n t}\cdot\frac{\pi}{L} \\=&\lim_{L\to+\infty}\sum_{n = -\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-L}^L f(t) e^{-\mathrm{i}\omega_n t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega_n t}\cdot\Delta\omega_n \\\sim& \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega. \end{split} $$

由此可见, 非周期函数 $f(t)$ 可以进行类似的傅里叶展开, 但展开所得的并不是级数, 而是积分

$$ \begin{equation}\label{fint} f(t)\sim\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega. \end{equation} $$

该积分称为傅里叶积分. 简谐波 $e^{\mathrm{i}\omega t}$ 所对应的振幅为 $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t$, 角频率 $\omega$ 是连续取值的.

和傅里叶级数一样, 傅里叶积分 $\eqref{fint}$ 同样是个形式表达式, 左右两边不一定相等. 傅里叶积分定理解决了两边何时相等的问题.

定理若函数 $f(t)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上分段连续, 且 $\int_{-\infty}^{+\infty}\left|f(t)\right|\mathrm{d}t$ 收敛(即 $f(t)$ 绝对可积), 则成立等式

$$\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega.$$

这个定理保证了, 只要 $f(t)$ 满足一些比较弱的条件, 即可将它表示成傅里叶积分的形式. 另外, 非零周期函数无法表示成傅里叶积分的形式, 只能表示成傅里叶级数. 而非周期函数也无法展开成傅里叶级数. 这点在下文会再次提到.

傅里叶变换(家族)

狭义的傅里叶变换指函数的傅里叶变换, 广义的傅里叶变换指包括前者在内的一类变换的统称, 这类变换均能把信号从时域切换到频域, 区别在于时域/频域是否连续/离散/周期.

为了叙述方便, 接下来会引入一些信号处理的概念.

周期的连续傅里叶变换

事实上, 傅里叶级数 $\eqref{stdd}$ 可以看作某种傅里叶变换. 设周期为 $2L$ 函数 $f(t)$ 可以展开成傅里叶级数, 即

$$ \begin{equation}\label{stdd2} f(t)=\sum_{n = -\infty}^{+\infty} \left(\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t) e^{-\mathrm{i}\omega_n t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega_n t}. \end{equation} $$

其中 $\omega_n = n\pi/L$. 参照傅里叶级数 $\eqref{stdd2}$, 可定义一个从函数到序列的变换

$$\mathscr{F}: f(t) \mapsto \{X_n(\omega_n)\} = \left\{\int_{-L}^L f(t) e^{-\mathrm{i}\omega_n t}\mathrm{d}t\right\}_{n = -\infty}^{+\infty}$$

及其逆变换

$$\mathscr{F^{-1}}: \{X_n(\omega_n)\}_{n = -\infty}^{+\infty} \mapsto f(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \frac{1}{2L}X_n(\omega_n)e^{\mathrm{i}\omega_n t}.$$

该变换 $\mathscr{F}$ 称为周期函数的傅里叶变换或周期的连续傅里叶变换. 它能把该在时域上连续的周期性信号变换为频域上离散的频谱, 相邻频谱的间隔 $\Delta\omega = \pi/L$.

非周期连续傅里叶变换

设函数 $f(t)$ 可以展开成傅里叶积分, 即

$$ \begin{equation}\label{fint2} f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\right) e^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega. \end{equation} $$

参照傅里叶积分 $\eqref{fint2}$, 可定义变换

$$\mathscr{F}: f(t) \mapsto F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t.$$

及其逆变换

$$\mathscr{F^{-1}}: F(\omega) \mapsto f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega.$$

把变换 $\mathscr{F}$ 称为非周期函数的傅里叶变换或非周期连续傅里叶变换, 通常称为(连续)傅里叶变换. 它能把时域上的连续非周期信号, 变成频域上的连续谱.

非周期离散傅里叶变换

设非周期函数(信号) $f(t)$, 抽样函数 $t_n = nT$, 则经过取样后的函数可表示为

$$ \begin{equation}\label{eq2} x(t) = f(t)\delta(t - nT), \end{equation} $$

$$x_n(t_n) = f(nT)$$

其中 $\delta(\cdot)$ 为 Dirac $\delta$ 函数, 满足

$$\delta(x) = \left\{\begin{matrix} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \neq 0 \end{matrix}\right.$$

且

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\mathrm{d}x = 1.$$

将 $\eqref{eq2}$ 傅里叶变换, 则

$$ \begin{split} F(\omega)=&\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(t - nT) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t \\=& \sum_{n = -\infty}^{+\infty} f(nT) e^{-\mathrm{i}\omega\cdot nT} \\=& \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x_n(t_n) e^{-\mathrm{i}n\omega T}. \end{split} $$

因此, 可以给非周期序列 $\{x_n(t_n)\}_{n=-\infty}^{+\infty}$ 定义类似的傅里叶变换 $\mathscr{F}$.

$$\mathscr{F}: \{x_n(t_n)\} \mapsto F(\omega) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x_n(t_n) e^{-\mathrm{i}n\omega T}.$$

注意到 $F(\omega)$ 的周期为 $2\pi/T$, 则

$$ \begin{split} &\int_{-\pi/T}^{\pi/T}F(\omega)e^{\mathrm{i}n\omega T}\mathscr{d}\omega \\=&\int_{-\pi/T}^{\pi/T}\left(\sum_{k = -\infty}^{+\infty}x_k(t_k) e^{-\mathrm{i}k\omega T}\right)e^{\mathrm{i}n\omega T}\mathscr{d}\omega \\=& \int_{-\pi/T}^{\pi/T} x_n(t_n) \\=& 2\pi x_n(t_n) / T. \end{split} $$

故变换 $\mathscr{F}$ 的逆变换是

$$ \mathscr{F^{-1}}: F(\omega) \mapsto \{x_n(t_n)\} = \left\{\frac{T}{2\pi}\int_{-\pi/T}^{\pi/T}F(\omega)e^{\mathrm{i}n\omega T}\mathscr{d}\omega\right\}_{n=-\infty}^{+\infty}. $$

该变换 $\mathscr{F}$ 称为非周期序列的傅里叶变换或非周期离散傅里叶变换. 在给定抽样周期($T$)的前提下, 它能把时域上的非周期离散信号转换成频域上的周期连续信号.

此外, 并不是任意非周期序列都能做傅里叶变换, 通常要求该序列是绝对收敛的, 即级数 $\sum_{-\infty}^{+\infty}\left|x_n(t_n)\right|$ 收敛.

周期的离散傅里叶变换

前面已经提到了周期/非周期函数的傅里叶变换, 以及非周期离散傅里叶变换, 那接下来很自然的便是周期序列的傅里叶变换.

设信号(函数) $f(t)$ 的周期为 $2L$, 角频率 $\omega_n=n\pi/L$, 抽样函数 $t_n = nT$, 则 $N = 2L/T (\in\mathbb{N^+})$ 表示在一个周期 $2L$ 内信号的采样次数.

对周期函数 $x(t) = f(t)\delta(t-nT)$ 进行傅里叶变换, 则

$$ \begin{split} X_k(\omega_k)=&\int_{0}^{2L} f(t)\delta(t-nT) e^{-\mathrm{i}\omega_k t}\mathrm{d}t \\=&\sum_{n = 0}^{N-1} f(nT) e^{-\mathrm{i}\frac{k\pi}{L}\cdot nT} \\=&\sum_{n = 0}^{N-1} x_n(t_n) e^{-\mathrm{i}\frac{2\pi nk}{N}}. \end{split} $$

这里序列 $x_n(t_n)=f(nT)$, 周期为 $N$. 序列 $X_k(\omega_k)$ 的周期同样为 $N$, 因此结果只取前面 $N$ 项即可. 此时可以给周期序列的傅里叶变换 $\mathscr{F}$ 下定义了.

$$\mathscr{F}: \{x_n(t_n)\}_{n=0}^{N-1} \mapsto \{X_k(\omega_k)\} = \left\{\sum_{n = 0}^{N-1} x_n(t_n) e^{-\mathrm{i}\frac{2\pi nk}{N}}\right\}_{k=0}^{N-1}. $$

由于

$$ \begin{split} \sum_{k=0}^{N-1}X_k(\omega_k)e^{\mathrm{i}\frac{2\pi mk}{N}} =&\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{n = 0}^{N-1} x_n(t_n)e^{-\mathrm{i}\frac{2\pi nk}{N}}\right)e^{\mathrm{i}\frac{2\pi mk}{N}} \\=&\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k = 0}^{N-1} x_n(t_n)e^{-\mathrm{i}\frac{2\pi nk}{N}}e^{\mathrm{i}\frac{2\pi mk}{N}} \\=&\sum_{n=0}^{N-1}\left(x_n(t_n)\sum_{k = 0}^{N-1} e^{\mathrm{i}\frac{2\pi(m-n)k}{N}}\right) \\=&Nx_m(t_m). \end{split} $$

~~想想最后一步为什么.~~ 故 $\mathscr{F}$ 的逆变换为

$$\mathscr{F^{-1}}: \{X_k(\omega_k)\}_{k=0}^{N-1} \mapsto \{x_n(t_n)\} = \left\{\frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1} X_k(\omega_k) e^{\mathrm{i}\frac{2\pi nk}{N}}\right\}_{k=0}^{N-1}. $$

以上是周期序列的傅里叶变换, 又称为(周期的)离散傅里叶变换. 它可以把一个时域上的周期信号序列变成频域上的周期信号序列. 原信号在时域上的周期为 $2L$, 取样间隔 $\Delta t = T$, 变换后信号在频域上的周期为 $2\pi/T$, 取样间隔 $\Delta\omega = \pi/L$.

值得一提的是, 用做傅里叶变换的函数/序列, 其定义域都应该是无限的. 对于周期序列的离散傅里叶变换而言, 由于时域和频域上都是周期的, 故在做傅里叶变换时分别取一个周期的数值即可.

傅里叶变换之总结

以上便是全部四个傅里叶变换, 一般的课本都会讲到. 现实中常用的是非周期函数的傅里叶变换, 以及周期序列的傅里叶变换. 这四种变换的效果可归纳为下表.

时域(变换前)	频域(变换后)	备注
周期的函数	非周期序列	傅里叶级数
非周期函数	非周期函数	傅里叶积分
周期的序列	周期的序列
非周期序列	周期的函数

快问快答

问是不是有些函数/序列会因为发散而没法傅里叶变换?

答是的. 非周期函数/序列要求绝对可积/收敛才能傅里叶变换.

问为什么本文的傅里叶变换表达式跟课本不太一样?

答傅里叶变换在不同书刊往往有着不同的表示形式, 但通常只差一个系数. 连续傅里叶变换的常见形式有以下三种:

$$ \mathscr{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t,\quad \mathscr{F^{-1}}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega. $$

$$ \mathscr{F}[f(t)] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t,\quad \mathscr{F^{-1}}[F(\omega)] = \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega. $$

$$ \mathscr{F}[f(t)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t,\quad \mathscr{F^{-1}}[F(\omega)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega. $$

这三种不同的傅里叶变换只相差一个系数, 对应用不造成影响.

问为什么本文没有快速傅里叶变换?

答那是计算机的活.

问为什么本文没有举例?

答本文已经很长了... 有空再另写文章专门讲讲例子.

问为什么没有参考文献?

答这些内容在随便一本《信号处理》或《傅里叶分析》都能找到. 文中还有少部分内容为个人创作, 故不需要参考文献.

问为什么本文只有角频率而没有频率?

答这是 $\sin\omega x$ (角频率) 与 $\sin(2\pi fx)$ (频率) 的区别. 在理论推导时用哪个更方便一目了然. 值得注意的是, 很多书刊采用频率而非角频率. 所以在做完傅里叶变换后, 要把角频率换算成频率.

傅里叶全家桶小结